Parcours

Fermer Parcours lévinassien

Fermer Parcours axiologique

Fermer Parcours cartésien

Fermer Parcours hellénique

Fermer Parcours ricordien

Fermer Parcours spinoziste

Fermer Parcours habermassien

Fermer Parcours deleuzien

Fermer Parcours bergsonien

Fermer Parcours augustinien

Fermer Parcours braguien

Fermer Parcours boutangien

Fermer Glossématique

Fermer Synthèses

Fermer Ouvrages publiés

Fermer Suivi des progrès aux USA

Fermer Parcours psychophysique

Fermer L'art et la science

Fermer Parcours nietzschéen

Fermer Philosophies médiévales

Autres perspectives

Fermer Archéologie

Fermer Economie

Fermer Sciences politiques

Fermer Sociologie

Fermer Poésie

Fermer Théologie 1

Fermer Théologie 2

Fermer Théologie 3

Fermer Psychanalyse générale

Fermer Points d’histoire revisités

Fermer Edification morale par les fables

Fermer Histoire

Fermer La numérisation du monde

Fermer Phénoménologie

Fermer Philosophie et science

Mises à jour du site

01/10/2017 ajout :
Parcours ricordien
- L'image de Dieu et l'épopée humaine
- Ricoeur philosophe et théologien

24/09/2017 ajout :
La numérisation du monde
- La vie algorithmique

09/09//2017 ajout :
La numérisation du monde
- Philosophie de la donnée
- La siliconisation du monde

27/08/2017 ajout :
La numérisation du monde
- Les objets connectés du futur

29/07/2017 ajout :
La numérisation du monde
- Les évolutions suite à la numérisation dans l'usine

29/07/2017 Nouvelle prespective :
La numérisation du monde
- Liminaire
- Le numérique redistribue des pouvoirs aux gens

 

Liens Wikipédia
Visites

   visiteurs

   visiteurs en ligne

Parcours hellénique - La Mathématique onto-logique

Lire cet article au format pdf

LA MATHÉMATIQUE ONTO-LOGIQUE


Le trait d’union sépare ici Platon et Aristote (Alain Badiou)


INTRODUCTION


C’est à une entreprise de décloisonnement que cette recension entend participer. On a fait si longuement effort pour présenter la mathématique et la philosophie comme deux terres étrangères, qu’il faut être attentif aux thèses qui ont été développées en faveur d’une vision contraire. Alain Badiou l’a fait « dans la vision non unifiée du destin de la philosophie ». de son premier ouvrage, l’Etre et l’Evènement.

Côté Etre, il a simultanément examiné l’efficience ontologique des axiomes de la théorie des ensembles, à travers les catégories successives de différence, de vide, d’excès, d’infini, de nature, de vérité et de sujet en rapport avec les connexions philosophiques des interprétations axiomatiques déjà établies : le Parménide de Platon sur l’un et la différence, d’Aristote sur le vide, de Spinoza sur l’excès, de Hegel sur l’infini, de Pascal sur la décision, de Rousseau sur l’être des vérités, etc.

Côté Evènement, il a montré que pour « penser le pli évènementiel, il fallait, soit une théorie originairement duplice des multiplicités[1] », soit, comme il le fait lui-même, « rendre raison de l’être de l’événement à la fois comme rupture de la loi des multiplicités étalées, et comme homogène à cette loi ». Cela passe, dit-il, « par une défection d’axiome : un événement n’est rien d’autre qu’un ensemble, un multiple, mais son surgir, sa supplémentation soustraient un des axiomes du multiple, nommément l’axiome de fondation. Ce qui, pris au pied de la lettre, signifie qu’un événement est proprement un multiple in-fondé »[2].

Dans la thèse plus récente d’Alain Badiou[3], on pourra constater que la philosophie grecque est encore bien présente dans les productions philosophiques contemporaines ; de larges extraits de sa publication sont de nature à montrer au lecteur comment il est fait appel, dans le domaine de l’ontologie mathématique et de la logique, aux vues philosophiques de Platon et d’Aristote. Il développe avec beaucoup de méthode l’assertion platonicienne, « la mathématique est une pensée », et son contraire tel que vu par Aristote ; il en conclut qu’il revient au philosophe « de nommer la cause réelle de l’acte mathématique, et donc de penser la pensée mathématique selon sa véritable destination ». Pour la logique, il constate que « l’hétérogène, aujourd’hui, donne plus à penser que l’homogène et qu’une logique intuitionniste ou modale est plus appropriée à cette orientation descriptive que ne l’est la raideur, excluant le tiers, de la logique classique ». Après avoir montré que l’incise proprement philosophique de la logique est étroitement liée à ce qu’on a appelé le « tournant langagier » de la philosophie, il précise que son projet philosophique est précisément de revenir sur ce tournant, « en identifiant la pensée et les vérités comme des processus dont le langage n’est qu’une donnée parmi d’autres » ; il est ainsi conduit à reconsidérer philosophiquement la mathématisation de la logique et donc à se demander quelle est la détermination mathématique de la logique mathématisée. Cette question lui semble « renvoyer à une simple distance intérieure de la mathématique : la distance où se pense, à partir de la mathématique elle-même, le statut de la logique comme discipline mathématique ». Force lui est alors de constater notre nouvelle installation « dans une triangulation complexe dont les pôles sont la mathématique, la logique et la philosophie, et la nécessité d’introduire l’axiome de discrimination suivant : une philosophie est aujourd’hui largement décidée par la position qui est la sienne sur le rapport des deux autres sommets du triangle, la mathématique et la logique ».

AVERTISSEMENT AU LECTEUR

Beaucoup d’éléments de cette thèse échappent à la « connaissance commune », donc à la mienne, mais avoir beaucoup hésité à présenter cette recension, qui fait suite à celle de « La filière grecque de la logique », j’ai tenu à faire droit à l’ouverture des horizons nouveaux qu’elle sous-tend, même si leur portée s’inscrit bien au-delà de mes compétences.

Seront examinés successivement les chapitres suivants :

. La mathématique est une pensée ;

. Platonisme et ontologie mathématique ;

. L’orientation aristotélicienne et la logique ;

. Logique, philosophie, « tournant langagier ».


LA MATHÉMATIQUE EST UNE PENSÉE

Comme le rappelle Alain Badiou, « cet énoncé n’a aucune évidence. Il a été maintes fois affirmé, d’abord par Platon, qui l’accompagne de toutes sortes de réserves, et maintes fois nié, en particulier par Wittgenstein...L’obscurité de l’énoncé résulte de ce que semble s’imposer une conception intentionnelle de la pensée : toute pensée dans cette conception, est pensée d’un objet, qui en détermine le sens et le style. On pose alors que la mathématique est une pensée dans l’exacte mesure où existent des objets mathématiques, et l’investigation philosophique porte sur la nature et l’origine de ces objets. Or il est clair qu’une telle supposition est problématique : en quel sens les idéalités mathématiques peuvent-elles être déclarées existantes ? Et existantes dans la forme générique de l’objet ? Cette difficulté est examinée tout au long du livre M de la Métaphysique d’Aristote, à propos de ce qu’il nomme les mathematika, les choses mathématiques, ou corrélats supposés de la science mathématique. »

. Pensée du côté de l’objet ou de l’objectivité

Pour autant qu’on aborde la question de la mathématique de ces côtés, A. Badiou pense que la solution d’Aristote est définitive. On peut y distinguer deux motifs d’exclusion de la réalité pour les objets mathématiques : le premier concerne l’impossibilité de leur accorder l’être ou l’existence au sens où cet être serait séparé, constituant un domaine préexistant et autonome[4], le second concerne leur impossibilité d’être immanents au sensible. Ce que A. Badiou résume ainsi :

« Au regard du champ de l’expérience, l’objet mathématique n’est donc ni séparé ni inséparable. Il n’est ni transcendant, ni immanent. La vérité est qu’il n’ a pas d’être à proprement parler. Ou, plus précisément : l’objet mathématique n’existe nulle part en acte. Comme le dira Aristote, ou bien les « mathematika » n’existent absolument pas ou bien en tout cas ils n’existent pas de manière absolue. Disons que l’objectivité mathématique est un pseudo-être, suspendu entre l’acte pur séparé, dont le nom suprême est Dieu, et les substances sensibles, ou choses réellement existantes. La mathématique n’est ni physique ni métaphysique. »

A partir de ce qu’elle n’est pas, est-il possible de mieux préciser ce qu’est la mathématique ? A. Badiou s’est attaché à le » faire :

« La mathématique est, en réalité, une activation fictive, là où l’existence en acte fait défaut. L’objectivité mathématique existe en puissance dans le sensible, et y demeure dans la latence définitive de son acte. Ainsi, il est vrai qu’un homme détient en puissance l’un arithmétique, ou qu’un corps détient en puissance telle ou telle forme pure. Ce n’est pas que l’un arithmétique ou la sphère géométrique existent à part, ni qu’ils existent comme tels dans un homme ou une planète. C’est que la pensée peut activer l’un ou la sphère à partir de l’expérience d’un organisme ou d’un objet ? Que veut dire activer ? Cela veut dire exactement : traiter comme existant en acte ce qui n’existe qu’en puissance. Traiter comme être un pseudo-être ? Traiter comme séparé ce qui ne l’est pas. C’est la définition même d’Aristote : l’arithméticien et le géomètre arrivent, dit-il, à d’excellents résultats « en posant comme séparé ce qui n’est pas séparé ».

La norme des mathématiques ne saurait être le vrai, mais le beau, bien que, dans le discours mathématique, il reste non-dit en tant que cause

Cette fiction a du reste comme conséquence que la norme des mathématiques ne saurait être le vrai, car le vrai ne se laisse pas rejoindre par une fiction. La norme des mathématiques est le beau. Car ce que sépare fictivement le mathématicien, c’est d’abord des relations d’ordre, de symétries, des simplicités conceptuelles transparentes. Or, remarque Aristote, « les formes les plus hautes du beau sont l’ordre, la symétrie, le défini ». Il en résulte que le « beau est l’objet principal des démonstrations mathématiques ».

On peut alors moderniser la conclusion définitive d’Aristote. Il suffit pour cela de se demander : qu’est-ce qui a puissance d’activer l’« être en puissance », ou : qu’est-ce qui a le pouvoir de séparer l’inséparé ? Il est pour nous modernes, évident que c’est le langage. Comme le remarque Mallarmé dans une citation fameuse, si je dis « une fleur », je la sépare de tout bouquet. Si je dis « une sphère », je la sépare de tout objet sphérique ; en ce point, mathème et poème sont indiscernables.

Mais pris dans l’acte d’activation fictive qu’est sa propre pensée, le mathématicien en méconnaît la structure. C’est pourquoi la dimension esthétique est dissimulé sous une prétention cognitive. Le beau est la cause véritable de l’activité mathématique, mais cette cause est, dans le discours mathématique, une cause [non-dite]. Elle n’est repérable que par ses effets : « Ce n’est pas une raison parce que les sciences mathématiques ne nomment pas le beau qu’elles n’en traitent pas, car elles en montrent les effets et les rapports ».

A coup sûr, considéré comme pensée du côté de l’objet, et c’est là une conclusion, la mathématique n’est pas pensée de sa pensée et la philosophie spontanée du mathématicien reste le platonisme

En effet, installée dans sa fiction, elle ne peut qu’y croire. C’est un point, remarque A. Badiou, sur lequel Lacan insistait à juste titre : le mathématicien est d’abord celui qui croit « dur comme fer » aux mathématiques. La philosophie spontanée du mathématicien est le platonisme, parce que, son acte étant de séparer l’inséparé, il tire de cette activation fictive le spectacle idéel de son résultat. Tout se passe pour lui comme si les objets mathématiques existaient en acte. Plus profondément : la pensée mathématique, comme toute fiction est un acte. Elle ne peut être que cela, puisqu’il n’y a rien à contempler. Comme le dit Aristote, dans une formule très ramassée, dans le cas des mathématiques, l’acte qui manque aux objets fait retour du côté du sujet.

. Pensée de la pensée mathématique en fonction de sa véritable destination

Il échoit donc au philosophe de s’évader de l’objet pour nommer la cause réelle de l’acte mathématique et donc de penser la pensée mathématique en fonction de sa véritable destination. C’est cette conception qui, aujourd’hui, selon l’avis d’A. Badiou est encore dominante. Il en voit quatre symptômes majeurs :

1. La critique de ce qui est supposé sous le nom de « platonisme » est à peu près consensuelle dans toutes les conceptions contemporaines de la mathématique.

2. Est presque universellement admis le caractère construit et langagier des entités ou structures mathématiques.

3. Si même l’esthétique n’est pas toujours convoquée comme telle, beaucoup de thèmes courants y sont homogènes. Ainsi, l’absentement de la catégorie de vérité, ainsi que la tendance au relativisme[5] et enfin l’approche logique[6] des architectures mathématiques, qui les traite comme de grandes formes dont le protocole de construction serait décisif.

4. L’incontestable suprématie, aujourd’hui, de la vision constructiviste[7], voire intuitionniste, sur la vision formaliste et unifiée du fondement[8], comme sur l’évidence de la logique classique.

Quant à la mathématique comme pensée, à quoi sommes-nous voués ?

A. Badiou s’est attaché à répondre à cette question : l’injonction de la mathématique contemporaine semble être, pour lui, de [réhabiliter] le platonisme après en avoir fait comprendre le véritable ressort, entièrement occulté [qu’il est] par l’exégèse d’Aristote. Dès lors que la mathématique est posée comme une pensée, il s’agit, en définitive, d’en venir à la pensée de cette pensée. Et ce qui lui semble le plus pertinent pour y parvenir c’est de pointer les moments (conventionnellement appelés moments de « crises de fondements »[9]) où la mathématique semble convoquée à se penser elle-même, à dire ce qu’elle est. Ces moments, plus de ruptures que de crises, avant d’être sources de progrès et de création, étaient, dans les milieux scientifiques concernés, l’occasion de luttes de tendances philosophiques. En réalité, leur enjeu réel était de redisposer la façon dont les courants philosophiques se servent des sciences pour leurs fins propres, lesquelles, en dernier ressort, sont politiques. Concrètement, A. Badiou propose de partir du constat suivant :

Au regard de ses propres buts la mathématique a donc été amenée plusieurs fois à penser sa pensée ; en quoi a pu consister cette opération ? Tout s’est joué en fait autour de quelques énoncés sur lesquels la pensée mathématique bute, comme s’ils étaient dans son propre champ la signature de l’impossible. Pour A.Badiou ces énoncés sont de trois types :

– soit il s’agit d’une contradiction formelle, tirée déductivement d’un ensemble de présupposés dont cependant l’évidence et la cohésion semblaient indubitables. C’est la butée sur le paradoxe. Ainsi de la théorie formelle des classes, dans le style de Frege, qui achoppe sur le paradoxe de Russell[10].

– Le deuxième cas est celui où une théorie établie se voit, en un point, diagonalisée par une exception ou un excès, qui contraint à ne tenir cette théorie, vue initialement générale, uniquement pour régionale, voire tout à fait particulière ou restreinte[11].

– Enfin, le troisième cas est celui où un énoncé inaperçu est isolé comme condition de résultats tenus pour certains, alors que, pris en lui-même, cet énoncé semble insupportable au regard des normes partagées quant aux constructions de la pensée mathématique. Ainsi de l’axiome du choix[12].

On peut donc dire [en résumé] qu’au moment où la mathématique bute sur le paradoxe et l’inconsistance, la diagonale et l’excès, ou encore sur une condition indéfinie, elle en vient à penser ce qui, dans sa pensée, est de l’ordre d’une décision ontologique. Il s’agit proprement d’un acte, qui engage durablement le réel d’être dont elle assumera d’établir les connexions et les configurations. Mais, confrontée ainsi à sa dimension décisoire, la mathématique ne peut qu’être en proie à la question de sa norme, et plus particulièrement : de la norme de ce que la pensée est en état de soutenir comme assertion d’existence. Faut-il faire venir à l’existence des nombres dont le principe n’est plus la composition d’unités ? Faut-il admettre qu’existent des ensembles infinis actuels non dénombrables ? Dans quelles conditions peut-on garantir qu’un concept bien formé admet une extension identifiable ? Comment se nouent l’assertion d’existence et le protocole de construction ? Peut-on admettre qu’existe une configuration intelligible dont il est impossible d’exhiber un seul cas ?

A. Badiou va trancher ces questions selon une norme immanente qui, sans constituer la pensée, du moins l’oriente

On appellera orientation dans la pensée ce qui règle dans cette pensée les assertions d’existence. Soit ce qui, formellement, autorise l’inscription d’un quantificateur existentiel en tête d’une formule qui fixe les propositions qu’on suppose à une région d’être. Ou ce qui, ontologiquement, fixe l’univers de la présentation pure du pensable.

Une orientation dans la pensée s’étend non seulement aux assertions fondatrices, ou aux axiomes, mais aussi aux protocoles démonstratifs, dès que leur enjeu est existentiel. Admettra-t-on, par exemple, qu’on puisse affirmer une existence de cela seul que l’hypothèse d’inexistence conduit à une impasse logique ? C’est le ressort du raisonnement par l’absurde. L’admettre ou non relève, d’une façon exemplaire, de l’orientation dans la pensée, classique si on l’admet, intuitutionniste si on ne l’admet pas. La décision porte alors sur ce que la pensée détermine en elle-même comme voie d’accès à ce qu’elle déclare exister. L’acheminement vers l’existence oriente le cheminement discursif.

On dira donc qu’il y a des moments où la mathématique, butant sur un énoncé qui atteste en un point la venue de l’impossible, se retourne sur les décisions qui l’orientent. Elle saisit alors sa propre pensée, non plus seulement selon son unité démonstrative, mais seulement selon la diversité immanente des orientations dans la pensée. La mathématique pense son unité comme intérieurement exposée à la multiplicité des orientations dans la pensée. Une « crise » de la mathématique est un moment où elle est astreinte à penser sa pensée comme multiplicité immanente de sa propre unité.

C’est en ce point, sans doute, et en ce point seulement, que la mathématique, c’est-à-dire l’ontologie, fonctionne comme condition de la philosophie. C’est dire que la mathématique se rapporte à sa propre pensée selon son orientation. Il revient à la philosophie de poursuivre ce geste, par une théorie générale des orientations dans la pensée. Que toute pensée ne puisse penser son unité que comme exposition à la multiplicité de ce qui l’oriente, c’est là ce dont la mathématique elle-même ne peut rendre compte, mais c’est aussi ce qu’elle manifeste exemplairement. Le rapport complet de la pensée mathématique à sa propre pensée suppose que la philosophie, sous condition des mathématiques, traite la question : qu’est-ce qu’une orientation dans la pensée ? Et plus encore : qu’est-ce qui impose que l’identité de l’être et de la pensée s’effectue selon une multiplicité immanente d’orientations ? Pourquoi faut-il toujours décider quant à ce qui existe ? Car tout le point est que l’existence n’est jamais la donation première. L’existence est précisément l’être même, pour autant que la pensée le décide. Et cette décision, oriente essentiellement la pensée.

Identifiables simultanément dans les moments de crise de la mathématique, et dans les remaniements conceptuels de la philosophie, trois orientations majeures peuvent être relevées[13]

Ce sont l’orientation constructiviste, l’orientation transcendante, l’orientation générique. Il est assez clair qu’elles sont, métaphoriquement d’orientation politique. Poser que l’existence doit se montrer selon un algorithme constructif, ou qu’elle est prédisposée dans un Tout, ou qu’elle est une singularité diagonale, cela oriente la pensée selon une acception chaque fois particulière de ce qui est, « ce qui est » étant ici pensé à partir de la décision d’existence. Soit ce qui est est ce dont il y a un cas, soit ce qui est est une place dans un Tout ; soit ce qui est est ce qui se soustrait à ce qui est. On pourrait dire : politique des particularités empiriques, politique de la totalité transcendante, politique des singularités soustraites.

[Elles ont l’heur] d’être mathématiquement lisibles à la seule théorie des ensembles. La doctrine des ensembles constructibles de Gödel donne une solide assise à la première, la théorie des grands cardinaux à la seconde, la théorie des ensembles génériques à la troisième.

Mais bien d’autres exemples plus récents nous montreraient que toute avancée mathématique finit par exposer dans l’unicité contingente de son mouvement, les trois orientations…Tout mouvement réel confronte la triplicité formelle des décisions d’existence (...)

La mathématique a cette vertu de ne présenter aucune interprétation ; le réel ne s’y montre pas selon le relief des interprétations disparates. Il s’y démontre comme dépourvu de sens. De là que, quand la mathématique se retourne sur sa propre pensée, c’est à nu qu’elle expose les conflits d’existence, une décision qui, sans garantie ni arbitrage, oriente décisivement la pensée.

PLATONISME ET ONTOLOGIE MATHÉMATIQUE

Dans la quasi-totalité des ouvrages de philosophie des sciences, le platonisme est identifié par un critère d’extériorité (ou de transcendance) des structures ou des objets mathématiques[14]. Ce critère est si ancré dans l’épistémologie courante que la prise en considération de cette seule « extériorité » risquerait de nous faire manquer le processus de pensée à l’œuvre chez Platon.

On notera d’abord que « l’existence indépendante » des structures mathématiques est, pour Platon, tout à fait relative. Ce que la métaphore de la réminiscence désigne est précisément que la pensée n’est pas, n’est jamais confrontée à « deux objectivités » dont elle serait séparée. L’Idée est toujours déjà là. Si elle n’était pas « activable » dans la pensée, elle resterait impensable. S’agissant plus particulièrement des idées mathématiques, toute la démonstration concrète du Ménon est d’en établir la présence dans la pensée la moins instruite, la plus anonyme : la pensée d’un esclave.

Coappartenance du contenu et de l’esprit connaissant

Le souci fondamental de Platon est de déclarer l’identité immanente, la coappartenance du contenu et de l’esprit connaissant, leur essentielle commensurabilité ontologique. S’il est un point sur lequel il est le fils de Parménide affirmant : « Le même, lui, est à la fois penser et être », c’est bien celui-là. Pour autant que la mathématique touche à l’être, elle est intrinsèquement une pensée. Et réciproquement, si la mathématique est une pensée, elle touche à l’être en elle-même. Le motif d’un sujet connaissant qui aurait à « viser » un objet extérieur – motif dont la provenance est empiriste, même quand l’objet supposé est idéal – est entièrement inapproprié à l’usage philosophique que Platon fait de l’existence des mathématiques.

. Platon et les structures mathématiques

Platon se soucie d’autant moins des structures mathématiques qui existent « en soi » que :

1. L’idéalité est la nomination qui advient au pensable, et ne singularise en rien la mathématique. Comme le vieux Parménide le fait remarquer au tout jeune Socrate, pour autant que nous pensons la boue ou le cheveu, il y a idée de la boue, et idée du cheveu[15]. En fait « Idée » est le nom de ce qui est pensé, en tant qu’il est pensé. Le thème platonicien consiste précisément à rendre indiscernables l’immanence et la transcendance, à s’établir en un lieu de pensée où cette distinction est inopérante[16].

2. Ce n’est pas le statut des prétendus « objets » mathématiques qui intéresse Platon, mais le mouvement de la pensée, parce que la mathématique n’est convoquée, en définitive, que pour identifier par différence la dialectique[17].

Finalement une seule chose est sûre : la mathématique est une pensée (ce qui, dans le langage de Platon, veut dire qu’elle brise avec l’immédiat sensible), la dialectique est aussi une pensée, et ces deux pensées sont, considérées dans le protocole de leur exercice, des pensées différentes.

Par ailleurs, Platon s’est exercé constamment à montrer que le corrélat de concepts ou de propositions bien définies peut être vide ou inconsistant. Fort de toutes ces observations, A. Badiou propose pour le platonisme, vis-à-vis de la mathématique, la définition suivante :

Est platonicienne la reconnaissance de la mathématique comme pensée intransitive à l’expérience sensible et langagière, dépendante d’une décision faisant place à l’indécidable[18], et assumant que tout ce qui est consistant existe.

Par cette définition, on voit qu’A. Badiou tient l’indécidable pour une catégorie cruciale du platonisme et qu’ainsi, il n’est jamais prédictible qu’à une formule bien définie corresponde une entité pensable. L’indécidable, appliqué à l’expérience langagière atteste qu’un platonicien ne fait nulle confiance à la clarté de la langue pour décider de l’existence[19].

L’indécidable est ce qui commande, quant au fond, le style aporétique des dialogues : conduire au point de l’indécidable, afin de montrer que la pensée doit, justement, décider au regard d’un événement de l’être ; que la pensée n’est pas d’abord une description ou une construction, mais une rupture (avec l’opinion, avec l’expérience) et donc une décision.

. Un texte exemplairement platonicien sur un problème de la mathématique

Gödel, toujours rangé par la « philosophie des mathématiques » parmi les « platoniciens »[20], dans un texte fameux, s ‘est interrogé sur « le continu de Cantor » à titre d’objet de l’intuition mathématique :

< En tout état de cause, la question de l’existence objective des objets de l’intuition mathématique (question qui, soit dit incidemment, est une réplique exacte de la question de l’existence objective du monde extérieur) n’est pas décisive pour le problème discuté ici. Le simple fait psychologique de l’existence d’une intuition assez claire pour produire les axiomes de la théorie des ensembles ainsi qu’une suite ouverte d’extensions de ces axiomes suffit à donner sens à la question de la vérité ou de la fausseté de propositions telles que l’hypothèse du continu de Cantor. Ce qui néanmoins, peut-être plus que n’importe quoi d’autre, impose l’acceptation de ce critère de la vérité en théorie des ensembles est que des appels répétés à l’intuition mathématique sont indispensables non seulement pour obtenir des réponses non ambiguës aux questions de la théorie des ensembles transfinis, mais aussi pour la solution de problèmes d’arithmétique finitiste (du type de la conjecture de Goldbach), lesquels ne supportent point de doute sur le caractère doué de sens et non ambigu des concepts qu’ils mettent en jeu. Cela suit du fait que pour tout système axiomatique il y a une infinité de propositions indécidables de ce type>.

A. Badiou a reconnu dans ce texte le problème crucial de la vérité qui est résolu par le fait que < dès qu’il y a une pensée inventive (et l’intelligibilité des axiomes en atteste le fait), on peut « donner sens à la question de la vérité ou de la fausseté » des propositions que cette pensée autorise. Ce sens provient justement de ce que le pensable, en tant qu’Idée, touche nécessairement l’être. Et que « vérité » n’est jamais que le nom de ce par quoi s’apparient, dans un processus unique, l’être et la pensée>.

A la suite de quoi, A. Badiou caractérise en trois points ce qu’il est légitime d’appeler une orientation philosophique platonicienne au regard de la condition mathématique moderne, et par conséquent de l’ontologie.

1. La mathématique est une pensée.

Cela signifie en particulier que, la concernant, la distinction d’un sujet connaissant et d’un objet connu n’a aucune pertinence. Il y a un mouvement réglé de la pensée, coextensif à l’être qu’elle enveloppe – coextension que Platon nomme Idée –, mouvement où découverte et invention sont proprement indiscernables. Tout comme sont indiscernables l’idée et son idéat.

2. Toute pensée – donc la mathématique – engage des décisions (des intuitions) du point de l’indécidable (du non-déductible).

Il résulte de ce trait une extension maximale du principe de choix quant au pensable : puisque la décision est première, et continûment requise, il est vain de tenter de la réduire à des protocoles constructifs, ou extérieurement normés. Les contraintes de la construction doivent être subordonnées aux libertés de la décision pensante. C’est pourquoi le platonicien ne verra rien à reprendre, pour peu que les effets de pensée soient maximaux, au libre usage du principe du tiers exclu et, par voie de conséquence, du raisonnement par l’absurde.

3. Les questions mathématiques d’existence ne renvoient qu’à la consistance intelligible de ce qui est pensé.

L’existence doit être ici considéré comme une détermination intrinsèque de la pensée effective, pour autant qu’elle enveloppe l’être. Qu’elle ne l’enveloppe pas s’atteste toujours par une inconsistance, laquelle doit être soigneusement distinguée d’une indécidabilité. Etre, pensée et consistance sont en mathématique une seule et même chose.

. Les traits reconnaissables du platonicien moderne

Des trois points qui, au regard de la condition mathématique moderne, caractérisent une orientation philosophique platonicienne, se dégagent les traits reconnaissables du platonicien moderne, lequel est un platonicien de l’être-multiple[21].

Tout d’abord, comme l’indique Gödel, l’indifférence aux prétendus « paradoxes » de l’infini actuel[22].

– Ensuite, le désir d’une maximalité dans les admissions d’existence : plus il y a d’existence, mieux c’est[23].

– Enfin, la reconnaissance d’un critère, quand une option apparente s’impose au devenir des mathématiques. Ce critère est justement celui de l’extension maximale du pensable consistant. Ainsi le platonicien admettra l’axiome du choix plutôt que sa négation, car l’univers avec axiome du choix est autrement plus large et dense en liaisons significatives que l’univers qui ne l’admet pas. A contrario, le platonicien sera réservé quant à l’admission de l’hypothèse du continu et, plus encore de celle de constructibilité[24]…Un continu dénombrable paraît au platonicien une intuition par trop contrainte[25].

Ce qui fait qu’une décision « ensembliste » quant aux mathématiques, soit subséquemment la reprise ontologique des décisions de Cantor (qui ont la vertu de clarifier la pensée de l’être comme multiplicité pure), impose une orientation platonicienne au sens qui vient d’être dit. Ce que confirment les choix philosophiques de Gödel, le plus grand (avec Cohen) des continuateurs de Cantor.

C’est que la théorie des ensembles est l’exemple type d’une théorie où la décision axiomatique) l’emporte sur la construction (définitionnelle)[26].

. La multiplicité au cœur de l’orientation platonicienne

Le multiple actuel dans la théorie des ensembles

Contrairement aux orientations aristotéliciennes (la puissance comme singularisation première de la substance) ou leibnizienne (le possible logique comme « prétention » à l’être), la théorie des ensembles ne connaît que le multiple actuel. Que l’actualité soit la forme effective de l’être, et que le possible ou la potentialité soient des fictions, est un motif profondément platonicien. Rien n’est plus significatif à cet égard que le traitement ensembliste du concept de fonction. Ce qui paraît être un opérateur dynamique souvent porté par des schèmes spatiaux, voire physiques (si y = ∫(x), on dira que y « varie » en fonction des variations de x, etc.), est strictement traité dans le cadre ensembliste, comme un multiple actuel : la fonction a pour être multiple son graphe, soit un ensemble dont les éléments sont les couples ordonnés de type (x, y), et toute allusion dynamique ou « en variation » est éliminée.

Un certain type de multiplicité issu du concept « de limite »

De façon similaire à ce qui vient d’être dit, le concept de « limite », si marqué par l’expérience du devenir, du tendre-vers, du mouvement asymptotique, est ramené à la caractérisation immanente d’un certain type de multiplicité. Ainsi un ordinal limite n’a pas besoin, pour être identifié, qu’on le représente comme ce vers quoi « tend » la suite d’ordinaux dont il est la limite, et ce pour la bonne raison qu’il est cette suite elle-même (que les éléments de cette suite sont ce qui le définit comme ensemble). L’ordinal transfini[27]א qui vient « après » les entiers naturels n’est rien d’autre que l’ensemble de tous les entiers naturels.

Partout, dans une claire filiation avec le génie platonicien, la virtualité est pensée comme actualité : il n’y a qu’un type d’être, l’Idée, (ou l’ensemble de la théorie des ensembles). Il n’existe donc pas d’actualisation, car toute actualisation suppose l’admission de plusieurs régimes de l’exister (au moins deux, la puissance et l’acte).

. Le principe de maximalité existentielle au sein de la théorie des ensembles

La théorie des ensembles, comme l’indique A. Badiou, obéit par ailleurs au principe de maximalité existentielle. Dès Cantor, fait-il remarquer, son inspiration est d’outrepasser toutes les limitations antérieures, tous les critères – tenus pour extrinsèques – de l’existence « raisonnable ». L’admission de cardinaux de plus en plus gigantesques (inaccessibles, de Mahlo, mesurables, compacts, supercompacts, énormes, etc.) est dans son génie naturel. Mais aussi bien du biais de la théorie des nombres surréels, l’admission d’infinitésimaux de toutes sortes. En outre, cette disposition déploie des « niveaux » de l’être de plus en plus saturés et complexes, une hiérarchie ontologique (la hiérarchie cumulative) qui, conformément à une intuition, cette fois d’accent néoplatonicien, est telle que sa « totalité » (inconsistante) est toujours réfléchie de façon consistante dans un des niveaux, au sens suivant : si un énoncé est valide « pour tout l’univers » (autrement dit, les quantificateurs sont pris sans limite, si « pour tout x » veut bien dire « pour un ensemble quelconque de tout l’univers »), alors il existe un énoncé dans lequel cet énoncé est valide… Ce qui signifie que cet ensemble considéré comme « univers restreint » réfléchit la valeur universelle de l’énoncé, la localise.

Ce théorème de réflexion nous dit que ce qui peut être prononcé au regard de l’être « sans limite » peut toujours l’être en un lieu. Ou encore que tout énoncé prescrit la possibilité d’une localisation. On y reconnaîtra le thème platonicien de la localisation intelligible de tout le dire rationnel[28].

. Les trois catégories sur lesquelles porte la vocation platonicienne de la théorie des ensembles

Ces trois catégories constitutives de toute ontologie philosophique sont : la différence, le nom primitif de l’être et l’indécidable.

1. La différence

Pour Platon, la différence est réglée, par l’idée de l’Autre. Or, telle que cette idée est présentée dans le Sophiste[29], elle implique nécessairement une localisation intelligible de la différence. C’est pour autant qu’une idée « participe » de l’Autre qu’elle peut être déclarée différente d’une autre. Il y a donc une évaluation localisable de la différence : le mode propre sur lequel une idée, quoique « même qu’elle-même », participe de l’Autre comme autre idée.

Ce point est assumé, en théorie des ensembles, par l’axiome d’extensionalité : si un ensemble est différent d’un autre, c’est qu’il existe au moins un élément qui appartient à l’un et pas à l’autre. Cet « au moins un » localise la différence, et interdit les différences purement globales. Il y a toujours un point de différence (de même que pour Platon une idée n’est pas « en soi » autre qu’une autre, mais pour autant qu’elle participe de l’Autre). C’est là, remarque A. Badiou, un trait capital, en particulier parce qu’il limite les droits aristotéliciens du qualitatif, de la différence globale et naturelle. Dans le style platonicien de l’ensemblisme, l’altérité se résout en ponctualités, la différence est assignable de façon uniforme et toujours élémentaire.

2 . Le nom primitif de l’être

En théorie des ensembles, ce nom est le vide, l’ensemble vide. Toute la hiérarchie s’y enracine. En un certain sens, lui seul « est ». Et la logique de la différence implique que le vide est unique. Il ne peut en effet différer d’un autre, puisqu’il ne contient aucun élément (aucun point local) qui puisse avérer cette différence. Cette combinaison de nomination primitive par le simple absolu (ou l’in-différent, qui est le statut de l’un dans le Parménide[30]) et d’unicité fondatrice est indubitablement platonicienne : car l’existence de ce que recouvre ce nom primitif (soit l’existence de l’ensemble vide) doit être axiomatiquement décidée, tout comme – c’est le sens des apories du Parménide – il est vain de déduire l’existence (ou l’inexistence) de l’un : il faut trancher et assumer les conséquences.

3. L’indécidable

Comme on le sait, depuis le théorème de Cohen, l’hypothèse du continu est intrinsèquement indécidable. Beaucoup pensent, souligne A. Badiou, qu’il s’agit là d’une ruine du projet ensembliste, ou d’une « pluralisation » de ce qui se présentait comme une construction unifiée, mais lui-même a un point de vue contraire : l’indécidabilité de l’hypothèse du continu achève en effet la théorie des ensembles comme orientation platonicienne. Elle indique le point de fuite, l’aporie, l’errance immanente où la pensée s’éprouve comme confrontation in-fondée à l’indécidable, ou – selon le lexique de Gödel – comme recours continu à l’intuition, c’est-à-dire à la décision.



L’ORIENTATION ARISTOTÉLICIENNE

ET LA LOGIQUE

Ce chapitre intervient ici, non dans le souci de respecter la chronologie, mais comme interrogation sur « l’Autre » primitif du platonisme qu’est l’aristotélisme.

Le cœur de tout rapport « aristotélicien » aux mathématiques s’oppose en effet frontalement au rapport qu’a entretenu Platon avec elles, en ce qu’elles sont constitutives d’une pensée. Que signifie l’assertion contraire d’Aristote, les mathématiques ne sont pas une pensée ? Non pas du tout évidemment, comme on l’a vu en tout premier, qu’elles ne constituent pas un savoir cohérent rationnel, mais que ce savoir, désancré de tout principe d’être ne peut prétendre à la vérité. Il importe peu, en la circonstance, que le « principe d’être » invoqué soit de type métaphysique (comme la substance d’Aristote ou la monade de Leibniz) ou de type empiriste comme les sense data de la filière positiviste. Dans tous les cas, la thèse centrale est que la mathématique reste purement formelle (ou « vide d’être »),

Ce qui lui interdit l’enveloppement réel requis pour toute pensée effective.

Pour un platonicien, l’Idée – quel que soit le statut ontologique finalement assigné à ce terme – désigne explicitement le nouage de la mathématique à un réel, nouage dont se soutient qu’il y ait sens à parler de vérités mathématiques. Pour un aristotélicien ou un leibnizien, la catégorisation de l’être sous les espèces d’une singularité (la substance comme information locale d’une matière, la monade comme « point métaphysique » ) dénoue la mathématique de toute inscription réelle. Car le triangle ou la différentielle ne sont ni substance, ni monade.

Que la mathématique ne soit pas une pensée ne vaut pas jugement sur son importance pour la pensée[31]. En effet, bien des choses qui ne sont pas des pensées importent grandement à la pensée. En définitive, pour Leibniz comme pour Aristote, la mathématique n’est tissée que de relations, sinon fictives, du moins purement idéales. Elle donne les conventions de l’intelligible virtuel. Elle relève de l’art calculant. Cet art est fondé en raison, mais il n’est pas une entame pensante de l’être.

. La mathématique est très précisément une grammaire de l’existence possible

Ce point est sans doute décisif : pour le platonicien, la mathématique est une science du réel (c’est la définition de Lacan, entièrement platonicien à cet égard). Pour Aristote ou Leibniz, la mathématique récapitule certaines données formelles de l’être possible. Et ces données, pour l’essentiel, sont analytiques, ce qui veut dire qu’elles ne touchent pas à la singularité, toujours synthétique de ce qui est.

La dimension purement idéale de la mathématique étant assumée, le platonicien et l’aristotélicien y ont construit chacun leur idéat réglementaire

Pour un platonicien, la pensée n’est jamais descriptive, elle s’établit d’une rupture avec la description, car elle est intransitive à l’opinion, donc à l’expérience.

Pour un aristotélicien, la pensée est construction d’un cadre descriptif adéquat, où l’expérience et l’opinion trouvent, sans césure, de quoi se fonder en raison. Rien n’est plus frappant que la différence de style impliquée par cette différence de représentation de la pensée.

Pour un platonicien, ce qui compte, ce sont les principes de rupture.

Pour un aristotélicien, ce sont les protocoles de légitimation.

Cette opposition, appliquée à l’inscription des mathématiques dans le champ de la philosophie donne ceci :

Tout l’intérêt d’un platonicien porte sur les axiomes, où se joue la décision pensante.

Tout l’intérêt d’un aristotélicien (ou d’un leibnizien) porte sur les définitions, où se joue la représentation des possibles.

En résumé, pour un aristotélicien, comme pour un leibnizien, l’essence de la mathématique est la logique

Ainsi, il n’y a nul hasard à ce qu’Aristote soit l’auteur des Seconds Analytiques, première logique formelle attestée dans l’histoire, et à ce que Leibniz ait travaillé dès son plus jeune âge à une « caractéristique universelle », ce qui lui vaut d’être considéré comme l’ancêtre de la logique mathématique moderne. Pour ces penseurs, la mathématique travaille du côté des possibles cohérents. Dépourvus d’une assise ontologique, elle idéalise abstraitement les consécutions admissibles, les algorithmes de contrôle de la « vraie » pensée, laquelle, substantielle ou monadique, s’approprie les singularités. La mathématique est donc une logique générale du possible rationnel.

La dimension purement idéale des entités mathématiques étant assumée, il n’est plus utile de s’interroger sur leur vérité mais sur leur provenance, empirique, langagière et rationnelle

Pour autant qu’elles sont liées à des représentations spatiales ou autres, ce sont les constructions qui permettent une vérification des notations idéales mathématiques. Pour autant qu’elles sont liées au langage, au chiffrage, au calcul, ce sont les algorithmes. Pour un aristotélicien ou un leibnizien, la mathématique doit être constructive (dans son versant géométrique) et algorithmique (dans son versant algébrique). Cela seul place sa destination logique sous le contrôle de la raison réelle.

Tout cela entraîne – contre le principe d’audace que soutient Platon – des prudences logiques, des protocoles de surveillance

1. Doute systématique concernant l’usage de l’infini (l’infiniment grand comme l’infiniment petit), car l’infini est largement soustrait aux vérifications constructives et algorithmiques, l’infini est décidé. Le risque est grand, si l’on admet que l’infini mathématique « existe » – et quel que soit le statut de cette existence –, de renouer avec l’être, d’oublier que la mathématique n’est qu’une logique des possibles[32]. Il n’est pas défendable que l’infini soit numérique, ou même géométrique : « Il appartient à l’essence du nombre, de la ligne et d’un tout quelconque, d’être borné ». Et « le vrai infini à la rigueur n’est que dans l’absolu, qui est antérieur à toute composition, et n’est point formé par l’addition de parties ».

2. Restriction et surveillance des assertions existentielles en mathématique. L’essence logique de la mathématique est transparente tant qu’on est dans les consécutions formelles et les définitions de possibilités. Elle s’obscurcit dès qu’on énonce une « existence ». On demandera donc que toute assertion de ce genre soit accompagnée de la construction explicite qui la valide, de la monstration logique du cas d’existence.

3. Tendance au perspectivisme pluraliste. Si la mathématique est une « science » formelle, appropriée à la description cohérente des possibles, il n’y a pas lieu (comme c’est le cas si elle est nouée à l’être et capable de vérité) qu’elle soit finalement unique. On peut envisager la coexistence de mathématiques « différentes », tout comme dans l’intellect du Dieu de Leibniz coexistent des mondes possibles, certes contradictoires entre eux, mais intérieurement cohérents.

. Pour le philosophe, la mathématique est simultanément ontologique et logique

D’un côté, philosophiquement saisie, elle est sans aucun doute nouée à la question de l’être, et de l’autre, elle est paradigmatique en ce qui concerne les enchaînements rationnels, les consécutions et les preuves. Ainsi, la mathématique se distribue bien, au regard de la construction du lieu philosophique, dans le double registre de la décision quant à la pensée de l’être et de la consistance formelle des arguments. Pour le philosophe, la mathématique est simultanément ontologique et logique. Comme le fait remarquer A. Badiou, < on peut dire qu’elle est onto-logique : le trait d’union sépare ici Platon et Aristote.> Selon les propres termes de notre auteur, on se trouve en présence < d’une mathématique qui éclaire la philosophie sur la dimension intervenante de toute vérité (les axiomes, les principes, les audaces), mais aussi sur sa dimension de fidélité (les opérateurs formels, la continuité de la pensée, les définitions, les prudences) > .

A observer les grands dispositifs mathématiques contemporains qui prétendent donner à la mathématique son espace unifié, ou sa langue primordiale, il n’en existe que deux aujourd’hui ; ils sont nés l’un et l ‘autre des besoins internes de la mathématique vivante, et non de l’application externe de quelque philosophie langagière. Ce sont :

– la théorie des ensembles, de Cantor à Cohen, surgie au siècle dernier des exigences de l’analyse réelle de la topologie ;

– la théorie des catégories et des lieux (topoi), surgie il y a cinquante ans des exigences de la géométrie algébrique.

C’est à ces deux dispositifs, conclut A. Badiou, qu’il faut se référer pour examiner, au regard de la grande opposition entre platonisme et aristotélisme, quelle configuration ontologique (ou quelle logique de l’ontologique) peut aujourd’hui ranimer le projet philosophique dans sa singularité, sans rien concéder à la spécialisation d’une « philosophie des mathématiques ».


LOGIQUE, PHILOSOPHIE,

« TOURNANT LANGAGIER »

. Interrogations consécutives au « tournant langagier »

L’ incise proprement philosophique de la logique tient à ceci : la mathématisation de la logique, par Boole, Frege, Russell, Hilbert, Gödel et beaucoup d’autres, est étroitement liée à ce qu’on a appelé le « tournant langagier » de la philosophie. Est-il possible, face à cette condition, d’identifier philosophiquement la pensée et les vérités comme des processus dont le langage n’est qu’une donnée parmi d’autres ? A. Badiou l’affirme et précise que pour y parvenir, il est inévitable de reconsidérer philosophiquement la mathématisation de la logique.

Pour le dire plus abruptement avec lui : < si le nœud de la pensée et de l’être, qui s’indique philosophiquement sous le nom de vérité, n’est pas d’essence grammaticale, ou s’il est sous condition de l’événement, du hasard, de la décision et d’une fidélité a-topique, et non sous la condition des règles anthropomorphiques et logiques du langage ou de la culture, alors il faut se demander quelle est exactement la détermination ontologique de la logique mathématisée. >

L’aboutissement du questionnement

Ayant posé antérieurement que l’ontologie, soit ce qui de l’être en tant qu’être peut s’inscrire, ou s’écrire, comme logos, est exactement la mathématique elle-même[33], il en résulte que demander ce qu’est la détermination ontologique de la logique mathématisée devient : quelle est la détermination mathématique de la logique mathématisée ?

En quoi cette question peut-elle être philosophique ? Elle semble renvoyer à une simple distance intérieure de la mathématique. La distance où se pense, à partir de la mathématique elle-même, le statut de la logique comme discipline mathématique. La pensée de cet écart intérieur relève-t-il de la philosophie ?

Force est de constater que nous voici installés dans une triangulation complexe, dont les pôles sont la mathématique, la logique et la philosophie.

Pour A. Badiou, l’axiome de discrimination qu’il faut alors introduire est le suivant : une philosophie est aujourd’hui largement décidée par la position qui est la sienne sur le rapport des deux autres sommets du triangle, la mathématique et la logique.

. Identification de la logique et de la mathématique

La thèse d’identification telle qu’impliquée dans le tournant langagier de la philosophie contemporaine

Il se trouve que le tournant langagier de la philosophie contemporaine est finalement commandé, dans une large mesure, par une thèse plus ou moins explicite d’identification de la logique et des mathématiques[34]. Thèse évidemment facilitée par l’intégrale mathématisation de la logique. Thèse, comme on l’a vu de provenance aristotélicienne ou leibnizienne[35].

Le « tournant langagier » a deux faces apparemment opposées dont les noms propres dominants sont Wittgenstein et Heidegger. Du premier, on retiendra qu’il énonce une stricte coextensivité entre le monde et le langage, les limites de l’un étant exactement les limites de l’autre. Du second, on retiendra que la pensée dans le temps de détresse est d’abord acheminement vers la parole ; ou que, comme il est dit à propos de Rilke, « il y a voilement parce que la région essentielle se dérobe ; mais reste le chant qui nomme la Terre ».

Dans tous les cas, le lieu où se joue le destin de la pensée est l’exacte frontière du dicible[36]. Et pour que tel soit le lieu, il faut que la mathématique, ramenée à la logique calculatrice et aveugle, ne soit pas une pensée.

Wittgenstein soutiendra simultanément :

1. « La mathématique est une méthode logique » (Tractatus, 6,2) ;

2. « La proposition mathématique n’exprime aucune pensée » (Tractatus, 6,21).

Et Heidegger ramènera du même geste la mathématique au calcul de la maîtrise technique : « Il arrive ainsi que l’être de l’étant devient pensable dans la pensée pure de la mathématique. L’être ainsi calculable, et mis dans le calcul, fait de l’étant quelque chose de maîtrisable au sein de la technique moderne à structure mathématique ».

Ainsi Wittgenstein et Heidegger partagent l’identification, de la mathématique et de la logique, au sein d’une disposition calculatrice où la pensée n’est plus pensante. Et ils tournent l’un et l’autre cette identification du côté du recours au poème, comme ce qui, dans la langue, persiste à s’accorder à la nomination de ce qui se retire. Pour Heidegger, il ne nous reste que le chant qui nomme la Terre. Mais Wittgenstein écrira aussi bien : « Je pense que j’ai résumé mon attitude à l’égard de la philosophie quand j’ai dit : la philosophie devrait être écrite comme une composition poétique ».

Le tournant langagier est ainsi la corrélation essentielle, philosophiquement instituée, entre, d’une part, l’identité calculatrice de la mathématique et de la logique, qui est soustraction de la pensée au profit d’une aveugle et technique puissance de la règle, et, d’autre part, le recours archi-esthétique à la puissance pacifique et éclaircie du poème[37].

Dissociation repensée de la logique et des mathématiques

Cette dissociation concerne la distinction entre une décision ontologique, de caractère prescriptif, et une inspection logique, de caractère descriptif.

Quelle méthode adopter ? Quant à la philosophie, A. Badiou croit toujours qu’elle est toujours sous condition d’évènements de pensée qui lui sont extérieurs. Ces évènements ne sont ni sa matière, car la philosophie n’est pas une forme, ni ses objets, car la philosophie n’est pas réflexive. Ils sont proprement ses conditions, c’est-à-dire ce qui autorise qu’il y ait philosophie ou transformation dans la philosophie.

Ainsi le tournant langagier lui-même a-t-il été sous la condition d’une événement de pensée fondamental : la mathématisation de la logique. Car la logique, il faut le rappeler, était ce à partir de quoi la philosophie, dans la vision d’une appropriation pensante de l’être, se saisissait du langage. La logique entre Aristote et Hegel, était la catégorie d’emprise de l’ontologie sur le langage. La mathématisation de la logique a en revanche autorisé que ce soit, si l’on peut dire, le langage qui se saisisse de la philosophie. Et le prix payé a été la destitution de toute ontologie ; soit sous la forme que lui donne Wittgenstein : les énoncés de l’ontologie sont des non-sens ; soit dans celle que lui donne Heidegger : les énoncés de la métaphysique sont dans l’époque de leur clôture nihiliste.

. Naissance d’une nouvelle distance intérieure entre la pensée mathématique et la logique mathématisée, par la présentation de la logique dans le cadre de la théorie des catégories

Cet événement, encore philosophiquement silencieux, est la présentation dans le cadre de la théorie des catégories, avec, en son centre, le concept de topos, ou « d’univers ».

Cet événement commence dans les années quarante avec la création, par Eilenberg et Maclane, pour les besoins de la géométrie algébrique, du langage catégoriel. Il se poursuit dans les années cinquante avec l’invention, par Groethendiek, du concept d’univers. Il s’achève dans les années soixante et soixante-dix, avec la reformulation par Freyd et Lawvere, de la totalité de la logique dans le langage des catégories. Le concept de topos élémentaire devient un outil transparent.

C’est à la suite de ces évènements qu’A. Badiou s’est appliqué à mettre en place la philosophie sous condition de la théorie des topoi, en reformulant, en six thèses, le problème qui remathématise la logique, tout en assumant qu’elle est mathématisée. Les développements de ce ces thèses outrepassent le cadre de cette recension, mais le lecteur aura tout loisir de s’y reporter[38].

Dans la présentation catégorielle, on procède à des descriptions géométriques d’univers et on peut remarquer qu’à telle ou telle disposition d’univers est corrélée, de façon immanente, telle ou telle disposition logique. La logique devient donc une dimension intrinsèque des univers possibles. Ou, plus essentiellement : la caractérisation descriptive d’un état ontologique pensable induit des propriétés logiques, qui sont alors présentées dans l’espace d’être (univers) que la pensée décrit.

Dans ce renversement, deux choses disparaissent :

– d’abord l’antécédence formelle et langagière du logique, ou plus généralement du grammatical, sur la position d’univers, ou sur la décision ontologique ;

– ensuite, le rapport d’enveloppement du mathématique par le logique. En fait, le logique apparaît comme une contrainte immanente enveloppée par le mathématique. Et surtout le logique est localisé. Il est une dimension présentée et repérable des univers dont la mathématique entreprend de décrire la possibilité.

Le problème de la délimitation entre logique et mathématique prend alors une tout autre tournure. Cette délimitation ne se laisse plus décider par les critères langagiers qui en épuisaient la force. Elle est renvoyée à des distinctions, elles-mêmes ontologiques, qui sont bien plus fondamentales, et qui concerne deux couples conceptuels : celui du réel et du possible et celui du global et du local.




[1] Théorie héritière de Bergson où « ce qui arrive fait pli, si l’on peut dire, entre l’étalement extensif et le continu intensif ».

[2] « C’est cette défection du fondement qui en fait un pur supplément hasardeux à la situation-multiple pour laquelle il est événement ».

[3] « Court traité d’ontologie transitoire », paru au Seuil en octobre 1998.

[4] Thèse ici critiquée et qui est attribuée à Platon.

[5] Il y aurait plusieurs mathématiques différentes, et en définitive ce serait affaire de goût.

[6] La transparence logique des mathématiques est esthétiquement supérieure à la substantialité séparée des choses. Ce qui est intégralement reproduit aujourd’hui dans la distinction entre les sciences formelles et les sciences empiriques..

[7] On part ainsi aujourd’hui de concrétions déjà complexes et il s’agit de les plier ou de les déplier selon leur singularité, de trouver le principe de leur déconstruction-reconstruction, sans se soucier d’un plan d’ensemble ou d’un fondement décidé. L’axiomatique est délaissée au profit d’une appréhension mouvante des complexités surprenantes. L’hétérogène donne plus à penser que l’homogène. Une logique intuitionniste ou modale est plus appropriée à cette orientation descriptive que ne l’est la raideur, excluant le tiers, de la logique classique.

[8] Le grand édifice construit par Bourbaki était dans une esthétique globale qu’on pourrait dire arborescente. Sur le solide tronc de la logique et d’une théorie homogène des ensembles poussaient les branches symétriques de l’algèbre et de la topologie, qui se recroisaient en hauteur jusqu’aux structures « concrètes » les plus fines, lesquelles composaient une disposition ramifiée du feuillage.

[9] Ainsi la crise des irrationnels dans la mathématique dite pythagoricienne, ou de la crise liée aux « paradoxes » de la théorie des ensembles à la fin du siècle dernier, puis aux divers théorèmes de limitation des formalismes découverts dans les années trente. Il y a eu auparavant une crise autour du maniement anarchique des infiniment petits, au début du XVIIIe siècle, et une autre relative à la géométrie, avec la découverte du caractère indécidable du postulat d’Euclide sur les parallèles.

[10] L’évidence ici contrainte à l’impossible est celle qui assigne à une propriété quelconque l’ensemble des termes qui possèdent cette propriété. Rien de plus clair que cette doctrine de l’extension d’un concept : et cependant, comme une épreuve réelle vient le cas qui affecte cette évidence d’une inconsistance intrinsèque…Face au paradoxe de Russell, c’est à une restriction des pouvoirs de la langue sur la détermination du multiple pur qu’il faut se résoudre, décision dont le nom propre est Zermelo

[11] Ainsi de la démonstration de ce que la diagonale d’un carré est incommensurable à son côté, si on entend par mesure un nombre rationnel. L’évidence de l’assignation à tout rapport saisissable d’une paire de nombres entiers assurait pour les pythagoriciens la réciprocité de l’être et du nombre. Elle est ruinée démonstrativement par un rapport géométrique en excès sur toute paire de nombres entiers qu’on prétendait lui assigner comme mesure. Il faut donc repenser la pensée où se déployait la numéricité essentielle de l’être, et donc repenser la pensée mathématique comme telle.

[12] Les grands analystes français de la fin du siècle dernier en faisaient implicitement usage dans leurs propres démonstrations ; mais son explicitation formelle leur parut excéder absolument ce qu’ils acceptaient quant au maniement de l’infini ; et surtout, ils y virent une transgression illégitime de la vision constructive qu’ils se faisaient des opérations de la pensée mathématicienne. L’axiome du choix revient en effet à admettre un ensemble infini absolument indéterminé, dont l’existence est affirmée, alors qu’il est langagièrement indéfinissable et, dans la procédure, inconstructible…Face à cet axiome la pensée est appelée à une abrupte décision sur l’infini actuel indéterminé, décision qui du reste divise durablement les mathématiciens.

[13] A. Badiou a proposé de ce point un traitement sommaire dans son ouvrage L’Etre et l’Evènement.

[14] « Les platoniciens sont ceux qui considèrent que les mathématiques sont la découverte de vérités concernant des structures qui existent indépendamment de l’activité ou de la pensée des mathématiciens » (Benaceraff et Putnam, in Philosophy of Mathematics).

[15] Parménide,190 d.

[16] < Une idée mathématique n’est ni subjective (« l’activité du mathématicien ») ni objective (« structures qui existent indépendamment »). Elle est d’un seul mouvement rupture avec le sensible et position de l’intelligible, soit ce qu’il faut appeler une pensée.>

[17] < Or, dans le pensable tout est Idée. Il est donc vain de chercher du côté de l’« objectivité » quelque différence que ce soit entre des régimes de la pensée. Seule la singularité du mouvement (partir d’hypothèses ou remonter au principe) autorise qu’on délimite l’entendement (dianoia) mathématicien de l’intellection dialectique (ou philosophique). La séparation des « objets est seconde, et toujours obscure. C’est une sous-traitance « dans l’être » des indices pris dans la pensée>.

[18] « L’indécidable est organiquement lié à la mathématique. Il s’agit moins, comme on l’a dit parfois, d’une « limite », que d’une perpétuelle incitation à exercer l’intuition inventive. De ce que tout dispositif de pensée mathématique récapitulé dans des axiomes fondateurs, comporte de l’indécidable, résulte que l’intuition n’est jamais inutile : la mathématique doit être constamment redécidée ».

[19] En ce sens, c’est l’axiome de Zermelo qui est platonicien, de n’admettre, pour une formule donnée, l’existence des « entités » qui la valident et de leur regroupement que dans un ensemble préalablement donné. Car il faut à la pensée une constante et immanente garantie d’être.

[20] Considéré par A. Badiou d’une lucidité supérieure

[21] 1.L’ontologie est pensée de la multiplicité inconsistante, soit réduite, sans unification immanente, au seul prédicat de sa multiplicité.

2.Le multiple est radicalement sans-un, en ceci qu’il n’est lui-même composé que de multiples. Ce qu’il y a, ou l’exposition au pensable de ce qu’il y a dans la seule exigence du « il y a », ce sont des multiples de multiples.

3.Pour autant qu’aucune limite immanente en provenance de l’un détermine la multiplicité comme telle, il n’y a aucun principe de finitude. Le multiple peut donc être pensé comme in-fini. Ou même : l’infini est un autre nom de la multiplicité comme telle. Et comme aucun principe n’enchaîne non plus l’infini à l’un, il faut soutenir qu’il y a une infinité d’infinis, une dissémination infinie de multiplicités infinies.

4. Pour autant qu’un multiple est pensable comme n’étant pas multiple de multiples, on ne concèdera pas qu’il faille réintroduire l’un. On dira qu’il est multiple de rien. Et le rien ne sera pas, non plus que les multiples, doté d’un principe de consistance.

5. La présentation ontologique effective est nécessairement axiomatique.(Court Traité d’Ontologie Transitoire, p.34).

[22] Pour autant que la sphère d’intelligibilité que l’infini institue ne pose manifestement aucun problème spécifique, ni dans l’intuition axiomatique, ni dans les protocoles démonstratifs, les raisons de s’en inquiéter sont toujours extrinsèques, psychologiques ou empiristes, et dénient aux mathématiques leur autosuffisance quant au régime du pensable qu’elles déterminent.

[23] Le platonicien manie l’audace de la pensée. Il répugne aux restrictions et censures venues du dehors (et en particulier de philosophèmes timorés). Tant que la pensée doit à l’être qu’elle enveloppe de ne pas sombrer dans l’inconsistance, on peut et on doit aller de l’avant dans les suppositions d’existence. Ainsi la pensée suit-elle une ligne d’intensification.

[24] Les univers réglés par les hypothèse du continu et de la constructibilité apparaissent étroits et contraints. L’univers constructible est même particulièrement mesquin.

[25] Le théorème de Rowbottom le conforte dans sa conviction : faire primer les consistances décidées sur les constructions contrôlées.

[26] Comme le fait remarquer A. Badiou, < les empiristes et les tenants du « tournant langagier » de notre siècle n’ont du reste pas manquer d’objecter à la théorie qu’elle ne parvenait pas même à définir ou à élucider, son concept organique, celui d’ensemble. A quoi un platonicien comme Gödel rétorquera toujours que ce qui compte sont les intuitions axiomatiques, qui constituent un espace de vérité, et non la définition logique des relations primitives>.

[27] Nombre non fini imaginé pour mesurer la richesse en éléments d’un ensemble infini.

[28] Cela même que Heidegger critique comme opération de « découpe », par l’Idée, dans la « venue en éclosion » ou estance naturelle, de l’être.

[29] Analyse de la notion d’Autre : L’Etranger d’Elée : Tu conviens toutefois, je suppose, que, parmi les choses qui sont, il y en a qui sont dites être par elles-mêmes ce qu’elles sont, et d’autres, l’être toujours relativement à d’autres. – Théétète : Et pourquoi n’en conviendrais-je pas ? – L’Etr. : Or, ce qui est autre est toujours relatif à autre chose : n’est-ce pas la vérité ? – Théet. : Exactement ! – L’Etr. : Ce ne le serait pas, si l’Etre et l’Autre n’étaient pas radicalement différents…(Le Sophiste, 155 d).

[30] L’Un ni identique ni différent : …Et pas davantage identique il ne sera, ni à autre chose, ni à soi-même ; ni non plus, tant de soi-même que d’autre chose, il ne peut être différent…différent d’autre chose il ne le sera pas, tant qu’il sera un ; ce n’est pas, en effet, à ce qui est un qu’il convient d’être différent de quelque chose, mais à cela seul qui est différent d’un terme différent et à rien d’autre…(Parménide, 139 c).

[31] On sait bien, commente A. Badiou, que la métaphysique de Leibniz est tout entière « portée » par sa conception mathématique du continu, le calcul des maxima, etc. La mathématique est sans doute plus importante pour l’édification du système de Leibniz qu’elle ne l’est, au bout du compte, pour l’ontologie aporétique de Platon. Et les considérations d’Aristote sur les mathématiques sont, à certains égards plus précises que celles de Platon.

[32] Même un créateur de l’envergure de Leibniz dans le champ du calcul différentiel et intégral entend réserver l’infini réel à la métaphysique, à l’absolu divin, qui seul lui confère un statut « monadique ».

[33] C’est à la refondation cantorienne que cette assertion est due : avec Cantor nous sommes passés de l’ontologie restreinte qui enchaîne encore le multiple au thème métaphysique de la représentation des objets, nombres et figures, à l’ontologie générale, qui fixe comme socle et destination à la mathématique l’appréhension pensante libre de la multiplicité comme telle,. laquelle cesse à tout jamais de contraindre le pensable à la dimension restreinte de l’objet.

A. Badiou s’est attaché à montrer comment la mathématique postcantorienne devient en quelque sorte égale à ses conditions (voir pp 35 à 38 du Court traité d’ontologie transitoire).

[34] Thèse dont le logicisme de Russel n’est qu’une forme extrême et non nécessaire.

[35] Pour un aristotélicien, comme pour un leibnizien, l’essence de la mathématique est la logique.

[36] Le dicible de l’être en tant qu’être, c’est-à-dire l’ontologie, est coextensible à la mathématique.

[37] Le protocole d’une rupture avec cette disposition philosophique exige par conséquent au moins deux gestes :

Le premier est le réexamen critique du poème comme appui d ‘une conception archi-esthétique du destin de la philosophie (réexamen qu’A. Badiou a entrepris).

Le second geste est une dissociation repensée de la logique et de la mathématique capable de restituer à la mathématique sa dimension pensante, du biais de la thèse selon laquelle la mathématique est pensée de l’être en tant qu’être.

La restitution de la mathématique à son essence pensante prend son départ, comme on l’a vu, dans l’idée que l’être est déploiement du multiple pur, et à ce titre science de l’être en tant qu’être.

[38] Court traité d’ontologie transitoire, pp. 125 à 127.


Date de création : 11/12/2006 @ 17:52
Dernière modification : 28/02/2007 @ 10:34
Catégorie : Parcours hellénique
Page lue 4815 fois


Réactions à cet article

Personne n'a encore laissé de commentaire.
Soyez donc le premier !


^ Haut ^